Problemas matematicos

[emilianopisanik]

Hola gente, como me imagino que son personas que se interesan en acertijos, problemas, etc.. les voy a dejar algunos problemas de matematicas!

1. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 formar un número natural de seis cifras distintas abcdef tal que el número de dos cifras ab sea múltiplo de 2, el número de tres cifras abc sea múltiplo de 3, el número de cuatro cifras abcd sea múltiplo de 4, el número de cinco cifras abcde sea múltiplo de 5, y el número de seis cifras abcdef sea múltiplo de 6.

2. Se tienen 5 objetos de distintos pesos. Se han pesado en una balanza todas las 10 combinaciones de dos de estos objetos. Se sabe que las tres combinaciones más livianas pesan 39, 43 y 44 kilos, y que las dos combinaciones más pesadas pesan 56 y 59 kilos. Calcular los pesos de cada uno de los cinco objetos.

3. Reemplazar cada una de las cinco letras por un dígito distinto, para que la siguiente multiplicación sea correcta.

A B C D E
x 4
________
E D C B A

Si les gustan.. avisen y subo mas!

Son de un certamen de olimpiadas de matematica, espero que los disfruten

[francho2040]

1- No es dificil sacar el primer problema por tanteo, pero mejor una respuesta justificada que entregue todas las soluciones posibles:
Hay que buscar condiciones, las cuales se encuentran con las reglas de las divisiones enteras:

- quinta cifra: el número debe ser multiplo de 5 lo que implica que debe terminar con 5 o con 0. como no se puede usar el 0, la quinta cifra debe ser 5.

-sexta cifra: debe cumplirse que el número sea divisible por 2 y por 3, o sea que la suma de los dígitos debe ser múltiplo de 3 y además el número debe ser par. Lo primero se cumple siempre pues 1+2+3+4+5+6=21, lo segundo implica que la cifra debe ser par.

-cuarta cifra: es condicion necesaria (pero no suficiente) que la cifra sea par.

-segunda cifra: es condicion suficiente que la cifra sea par.

Número (abcdef): __ par __ par 5 par

De lo anterior se concluye que los números 1 y 3 deben ocupar el primer y tercer espacio.
Ahora, usando la regla de division entera por 3 para el numero abc, la única cifra disponible, que sumada con 1 y 3 da un valor multiplo de 3, es el 2.

Numero (abcdef): (1 ó 3) 2 (1 ó 3) (4 ó 6) 5 (4 ó 6)

Finalmente probando las 4 combinaciones posibles se descartan el 123456 y 321456 porque el numero abcd no es divisible por 4, por lo tanto las unicas soluciones posibles son 123654 y 321654


2- Simplemente determinar que los valores de a b c d e están ordenados de mayor a menor, o viceversa, de manera que se puede plantear un sistema de ecuaciones con 3 ecuaciones y 3 incognitas para las primeras 3 condiciones, y luego usar los valores encontrados para encontrar los otros 2 valores usando las 2 condiciones restantes:(ordenando de menor a mayor peso)

a+b = 39
a+c = 43
b+c = 44
implica
a = 39 - b
c = 43 - a
b + 43 - (39 - b) = 44
implica
a=19, b=20, c=24

luego las ultimas 2 condiciones se traducen a:

d+e = 59
c+e = 56

-como ahora se conoce c es facil encontrar d y e, los cuales son: d=29, e=32


3- Me dio lata hacerla, la encontre fome xD


P.D: Para que edades estaban pensados estos problemas?

[emilianopisanik]

de 13 a 15 o 16 años.. y muy buena la respuesta 3 xD